Pembahasan Matematika Ipa Un 2017 No. 26 - 30

Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) tahun 2017 bidang studi Matematika SMA-IPA nomor 26 hingga dengan nomor 30 tentang:

• persamaan trigonometri, 
• perbandingan trigonometri (jumlah dan selisih dua sudut), 
• perbandingan trigonometri (jumlah dan selisih sinus dan kosinus, 
• sudut antara garis dan bidang dalam dimensi tiga, serta 
• jarak antara titik, garis, dan bidang dalam dimensi tiga.

Soal No. 26 ihwal Persamaan Trigonometri

Himpunan penyelesaian persamaan cos⁡ 2x − sin ⁡x = 0, untuk 0 ≤ x ≤ 2π ialah ….

A.   {π/6, 5π/6, π}
B.   {π/6, 5π/6, 3π/2}
C.   {π/3, 2π/3, 3π/2}
D.   {π/3, 4π/3, 3π/2}
E.   {7π/6, 3π/2, 11π/6}

Pembahasan

Untuk menuntaskan soal d atas, trigonometrinya harus dijadikan sejenis. Dalam hal ini, cos⁡ 2x harus diubah menjadi bentuk sinus.

cos⁡ 2x = 1 − 2 sin² ⁡x

Sehingga soal di atas menjadi:

             cos⁡ 2x − sin ⁡x = 0
     1 − 2 sin² ⁡x − sin⁡ x = 0
     2 sin² ⁡x + sin⁡ x − 1 = 0
(2 sin ⁡x − 1)(sin⁡ x + 1) = 0
sin⁡ x = 1/2 atau sin⁡ x = −1

Untuk sin⁡ x = 1/2 (positif), nilai x berada pada kuadran I dan II.

              sin⁡ x = 1/2
              sin⁡ x = sin⁡ 30°

Kuadran I    x = 30°
                       = π/6

Kuadran II   x = 180° − 30°
                       = 150°
                       = 5π/6

Sedangkan untuk sin⁡ x = −1 hanya memiliki satu nilai pada interval 0 ≤ x ≤ 2π.

sin ⁡x = −1
      x = 270°
         = 3π/2

Dengan demikian, penyelesaiannya adalah:

π/6, 5π/6, 3π/2

Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri tersebut ialah opsi (B).

Perdalam bahan ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Persamaan Trigonometri.

Soal No. 27 ihwal Perbandingan Trigonometri (jumlah dan selisih dua sudut)

Diketahui sin⁡ α cos ⁡β = 2/5 dan (α + β) = 5π/6. Nilai sin⁡(α − β) = ….

A.   −1/2
B.   −3/10
C.   −1/10
D.   3/10
E.   1/2

Pembahasan

Langkah pertama, kita ubah sudut radian ke dalam derajat, agar lebih familiar di otak kita.

(α + β) = 5π/6
            = 150°

Selanjutnya kita gunakan rumus jumlah dua sudut.

 sin⁡(α + β) = sin⁡ α cos ⁡β + cos⁡ α sin ⁡β
    sin⁡ 150° = 2/5 + cos⁡ α sin⁡ β
            1/2 = 2/5 + cos⁡ α sin⁡ β
cos⁡ α sin⁡ β = 1/2 − 2/5
                  = 1/10

Sekarang kita masuk ke pertanyaan.

sin⁡(α − β) = sin⁡ α cos⁡ β − cos ⁡β sin⁡ α
                 = 2/5 − 1/10
                 = 4/10 − 1/10
                 = 3/10

Jadi, nilai sin⁡(α − β) ialah 3/10 (D).

Perdalam bahan ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Perbandingan Trigonometri.

Soal No. 28 ihwal Perbandingan Trigonometri (jumlah dan selisih sinus dan kosinus)

Nilai dari

A.   −√3
B.   −√2
C.   −1/2 √3
D.   √2
E.   √3

Pembahasan

Untuk menuntaskan soal di atas, sebaiknya dihafal rumus selisih sinus dan kosinus berikut ini.

sin⁡ A − sin ⁡B = 2 cos⁡ ½ (A + B) sin⁡ ½ (A − B)
cos ⁡A − cos⁡ B = −2 sin ½ (A + B) sin⁡ ½ (A − B)

Dengan demikian penyelesaian soal di atas adalah:

Sudut 210° masuk dalam kuadran III sehingga sanggup diganti 180° + 30°. Rumus sinus dan kosinus dalam kuadran III adalah:

sin⁡(180° + α) = −sin ⁡α
cos⁡(180° + α) = −cos ⁡α

Sehingga penyelesaian di atas sanggup dilanjutkan menjadi:

Jadi, nilai dari perbandingan trigonometri tersebut ialah −√3 (A).

Perdalam bahan ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Perbandingan Trigonometri.

Soal No. 29 ihwal Sudut antara Garis dan Bidang dalam Dimensi Tiga

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuknya 6 cm. Jika α ialah sudut antara bidang AFH dan bidang BDHF, nilai sin ⁡α = ….

A.   1/2
B.   1/3 √3
C.   1/2 √2
D.   1/2 √3
E.   2/3 √2

Pembahasan

Perhatikan ilustrasi gambar untuk soal di atas!

Misalkan panjang sisi kubus tersebut ialah a. Panjang PQ sama dengan panjang sisi kubus sedangkan panjang AQ sama dengan setengah diagonal bidang. Sehingga:

Dengan demikian, nilai sinus α adalah:

Jadi, nilai sinus sudut antara bidang AFH dan bidang BDHF ialah 1/3 √3 (D).

Perdalam bahan ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Sudut antara Garis dan Bidang.

Soal No. 30 ihwal Jarak antara Titik, Garis, dan Bidang dalam Dimensi Tiga

Diketahui kubus KLMN.OPQR dengan panjang rusuk 6 cm. Jarak titik M ke bidang LNQ ialah ….

A.   2√2 cm
B.   2√3 cm
C.   3√2 cm
D.   3√3 cm
E.   4√3 cm

Pembahasan

Perhatikan gambar berikut ini!

Jarak titik M ke bidang LNQ ialah garis MS. Ternyata kalau garis MS diperpanjang akan sempurna melalui titik O, di mana MO ialah diagonal ruang.

MO = a√3
       = 6√3 cm

Perbandingan antara MS : SO = 1 : 2, sehingga:

MS = 1/3 MO
       = 1/3 × 6√3
       = 2√3

Jadi, jarak titik M ke bidang LNQ ialah 2√3 cm (B).

Perdalam bahan ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Jarak Titik, Garis, dan Bidang.

Pembahasan Matematika IPA UN 2017 No. 21 - 25
Pembahasan Matematika IPA UN 2017 No. 31 - 35

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Demikian, membuatkan pengetahuan bersama . Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.
Sumber http://kakajaz.blogspot.com

Share this post

Berlangganan update artikel terbaru via email: