Mengenal Limit Fungsi
Limit fungsi sanggup diartikan sebagai nilai pendekatan suatu fungsi ketika variabelnya mendekati atau menuju suatu bilangan tertentu. Untuk memahami konsep limit, kita sanggup mulai dengan mengajukan pertanyaan "Apa yang terjadi dengan fungsi f(x), bila x mendekati bilangan tertentu?" atau lebih spesifiknya "Berapa nilai yang didekati f(x), bila x mendekati c?"
Secara umum, kita memakai notasi $$\mathrm{\lim_{x\rightarrow c}f(x)=L}$$ dibaca "limit dari f(x) untuk x mendekati c sama dengan L" atau "limit f di c sama dengan L" artinya bila x mendekati c dan x ≠ c maka f(x) mendekati L. Dengan kata lain, L ialah nilai yang didekati f(x) ketika x erat namun berlainan dengan c.
Nilai limit f di c sanggup ditaksir atau diprediksi secara numerik, yaitu dengan mengamati nilai-nilai fungsi f disekitar c ataupun dengan melihat eksklusif secara visual dari grafik fungsinya. Perhatikan teladan berikut!
Contoh 1
Tentukan \(\mathrm{_{x \to 2}^{lim}}\) x²
Berikut nilai-nilai fungsi f(x) = x² untuk beberapa nilai x yang mendekati 2.
Berdasarkan tabel diatas, kita sanggup menebak atau memprediksi bahwa f(x) akan mendekati 4 ketika diambil nilai x yang mendekati 2, baik dari kiri maupun dari kanan. Faktanya, nilai f(x) = x² sanggup dibentuk sedekat mungkin ke 4 dengan cara mengambil x yang sangat erat dengan 2. Dalam notasi limit, kondisi menyerupai ini kita tulis \(\mathrm{_{x \to 2}^{lim}}\) x² = 4.
Dari teladan diatas, cukup masuk nalar bila kita beranggapan bahwa nilai limit sama saja dengan nilai fungsi. Cukup substitusikan x = 2 ke fungsi f, akan kita dapatkan nilai limitnya 4. Hal ini benar, bila memang fungsi f terdefinisi di c atau dengan kata lain f(c) ada nilainya, menyerupai teladan diatas.
Namun perlu kita ingat bahwa tidak semua fungsi terdefinisi disemua titik. Bisa saja suatu fungsi tidak terdefinisi di c namun memiliki limit di c. Simak teladan berikut!
Contoh 2
Tentukan \(\mathrm{_{x \to 1}^{lim}}\) \(\mathrm{\frac{x^{2}-1}{x-1}}\).
Jawab :
Sumber http://smatika.blogspot.com
Berdasarkan tabel diatas, kita sanggup menebak atau memprediksi bahwa f(x) akan mendekati 4 ketika diambil nilai x yang mendekati 2, baik dari kiri maupun dari kanan. Faktanya, nilai f(x) = x² sanggup dibentuk sedekat mungkin ke 4 dengan cara mengambil x yang sangat erat dengan 2. Dalam notasi limit, kondisi menyerupai ini kita tulis \(\mathrm{_{x \to 2}^{lim}}\) x² = 4.
Dari teladan diatas, cukup masuk nalar bila kita beranggapan bahwa nilai limit sama saja dengan nilai fungsi. Cukup substitusikan x = 2 ke fungsi f, akan kita dapatkan nilai limitnya 4. Hal ini benar, bila memang fungsi f terdefinisi di c atau dengan kata lain f(c) ada nilainya, menyerupai teladan diatas.
Namun perlu kita ingat bahwa tidak semua fungsi terdefinisi disemua titik. Bisa saja suatu fungsi tidak terdefinisi di c namun memiliki limit di c. Simak teladan berikut!
Contoh 2
Tentukan \(\mathrm{_{x \to 1}^{lim}}\) \(\mathrm{\frac{x^{2}-1}{x-1}}\).
Jawab :
Perhatikan bahwa, f(x) = \(\mathrm{\frac{x^{2}-1}{x-1}}\) tidak terdefinisi untuk x = 1 alasannya penyebutnya akan bernilai nol. Sekarang coba kita amati nilai fungsi f ketika x mendekati 1.
Dari tabel diatas, tampak bahwa nilai f(x) mendekati 2 ketika diambil nilai-nilai x yang mendekati 1, baik dari kiri maupun dari kanan.
Dapat kita lihat, kurvanya berlubang di x = 1 alasannya memang fungsi f tidak terdefinisi di titik tersebut. Namun, ketika x mendekati 1, nilai f(x) mendekati 2. Jadi, \(\mathrm{_{x \to 1}^{lim}\,\frac{x^{2}-1}{x-1}}\) = 2.
Catatan : Contoh 2 diatas sekaligus memberitahukan kepada kita bahwa ketika bekerja dengan limit, fungsi f tidak harus terdefinisi di c. Karena konsentrasi kita ialah ketika x mendekati c, dengan kata lain x ≠ c.
Limit fungsi disuatu titik sanggup dipandang dari dua arah, yaitu dari arah kiri dan kanan. Perhatikan ilustrasi berikut
Jika x < c maka x akan mendekati c dari arah kiri dan bila x > c maka x akan mendekati c dari arah kanan.
Secara umum kita memakai notasi $$\mathrm{\lim_{x\rightarrow c^{-}}f(x)=L}$$ dibaca "limit dari f(x) untuk x mendekati c dari kiri sama dengan L" atau "limit kiri f di c sama dengan L" artinya bila x mendekati c dan x < c maka f(x) mendekati L.
$$\mathrm{\lim_{x\rightarrow c^{+}}f(x)=L}$$ dibaca "limit dari f(x) untuk x mendekati c dari kanan sama dengan L" atau "limit kanan f di c sama dengan L" artinya bila x mendekati c dan x > c maka f(x) mendekati L.
Contoh 3
Perhatikan grafik fungsi f berikut, lalu tentukan
a. f(2) dan f(5)
b. \(\mathrm{_{x \to 2^{-}}^{lim}}\) f(x)
c. \(\mathrm{_{x \to 2^{+}}^{lim}}\) f(x)
d. \(\mathrm{_{x \to 5^{-}}^{lim}}\) f(x)
e. \(\mathrm{_{x \to 5^{+}}^{lim}}\) f(x)
Jawab :
a. f(2) = 1 dan f(5) tidak ada
b. Saat x mendekati 2 dari kiri, f(x) mendekati 3
Jadi, \(\mathrm{_{x \to 2^{-}}^{lim}}\) f(x) = 3
c. Saat x mendekati 2 dari kanan, f(x) mendekati -1
Jadi, \(\mathrm{_{x \to 2^{+}}^{lim}}\) f(x) = -1
d. Saat x mendekati 5 dari kiri, f(x) mendekati 2
Jadi, \(\mathrm{_{x \to 5^{-}}^{lim}}\) f(x) = 2
e. Saat x mendekati 5 dari kanan, f(x) mendekati 2
Jadi, \(\mathrm{_{x \to 5^{+}}^{lim}}\) f(x) = 2
Contoh 4
Perhatikan grafik fungsi f berikut, lalu tentukan
\(\mathrm{_{x \to 2^{-}}^{lim}}\) f(x) dan \(\mathrm{_{x \to 2^{+}}^{lim}}\) f(x)
Jawab :
Ketika x mendekati 2 dari kiri, nilai f(x) akan terus mengecil tanpa batas, balasannya f(x) tidak mendekati suatu bilangan tertentu. Kita simpulkan
\(\mathrm{_{x \to 2^{-}}^{lim}}\) f(x) tidak ada.
Ketika x mendekati 2 dari kanan, nilai f(x) akan terus membesar tanpa batas, balasannya f(x) tidak mendekati suatu bilangan tertentu. Kita simpulkan
\(\mathrm{_{x \to 2^{+}}^{lim}}\) f(x) tidak ada.
Catatan : Contoh diatas merupakan masalah limit tak hingga. Untuk kasus-kasus limit tak hingga, ada cara lain untuk mengekspresikan suatu limit tidak ada, yaitu dengan memakai notasi ∞, bila nilai f(x) bertambah besar tanpa batas dan notasi -∞, bila nilai f(x) bertambah kecil (negatif besar) tanpa batas.
Contoh 5
Berdasarkan grafik fungsi f dibawah ini, tentukan nilai limit berikut bila ada
a. \(\mathrm{_{x \to -1}^{lim}}\) f(x)
b. \(\mathrm{_{x \to 1}^{lim}}\) f(x)
c. \(\mathrm{_{x \to 3}^{lim}}\) f(x)
Jawab :
a. Untuk x mendekati -1
\(\mathrm{_{x \to -1^{-}}^{lim}}\) f(x) = 1
\(\mathrm{_{x \to -1^{+}}^{lim}}\) f(x) = 4
Karena limit kiri ≠ limit kanan, akibatnya
\(\mathrm{_{x \to -1}^{lim}}\) f(x) tidak ada
b. Untuk x mendekati 1
\(\mathrm{_{x \to 1^{-}}^{lim}}\) f(x) = 2
\(\mathrm{_{x \to 1^{+}}^{lim}}\) f(x) = 2
Limit kiri = limit kanan = 2, akibatnya
\(\mathrm{_{x \to 1}^{lim}}\) f(x) = 2
c. Untuk x mendekati 3
\(\mathrm{_{x \to 3^{-}}^{lim}}\) f(x) = 2
\(\mathrm{_{x \to 3^{+}}^{lim}}\) f(x) = 3
Limit kiri ≠ limit kanan, akibatnya
\(\mathrm{_{x \to 3}^{lim}}\) f(x) tidak ada
Pendekatan numerik dan grafik yang dipaparkan diatas merupakan cara yang paling sempurna untuk memahami konsep limit, bukan menghitung nilai limit. Selama tidak ada pembenaran secara matematis, tidak ada jaminan bahwa taksiran atau prediksi kita benar 100%. Karena memang kita berangkat dari pemahaman limit secara intuitif.
Namun, kita masih sanggup menghitung nilai limit secara presisi dengan memakai teorema-teorema limit. Dari teorema-teorema ini, sanggup disusun metode-metode penyelesaian limit secara aljabar.
Dari tabel diatas, tampak bahwa nilai f(x) mendekati 2 ketika diambil nilai-nilai x yang mendekati 1, baik dari kiri maupun dari kanan.
Dapat kita lihat, kurvanya berlubang di x = 1 alasannya memang fungsi f tidak terdefinisi di titik tersebut. Namun, ketika x mendekati 1, nilai f(x) mendekati 2. Jadi, \(\mathrm{_{x \to 1}^{lim}\,\frac{x^{2}-1}{x-1}}\) = 2.
Catatan : Contoh 2 diatas sekaligus memberitahukan kepada kita bahwa ketika bekerja dengan limit, fungsi f tidak harus terdefinisi di c. Karena konsentrasi kita ialah ketika x mendekati c, dengan kata lain x ≠ c.
Limit fungsi disuatu titik sanggup dipandang dari dua arah, yaitu dari arah kiri dan kanan. Perhatikan ilustrasi berikut
Jika x < c maka x akan mendekati c dari arah kiri dan bila x > c maka x akan mendekati c dari arah kanan.
Secara umum kita memakai notasi $$\mathrm{\lim_{x\rightarrow c^{-}}f(x)=L}$$ dibaca "limit dari f(x) untuk x mendekati c dari kiri sama dengan L" atau "limit kiri f di c sama dengan L" artinya bila x mendekati c dan x < c maka f(x) mendekati L.
$$\mathrm{\lim_{x\rightarrow c^{+}}f(x)=L}$$ dibaca "limit dari f(x) untuk x mendekati c dari kanan sama dengan L" atau "limit kanan f di c sama dengan L" artinya bila x mendekati c dan x > c maka f(x) mendekati L.
Contoh 3
Perhatikan grafik fungsi f berikut, lalu tentukan
a. f(2) dan f(5)
b. \(\mathrm{_{x \to 2^{-}}^{lim}}\) f(x)
c. \(\mathrm{_{x \to 2^{+}}^{lim}}\) f(x)
d. \(\mathrm{_{x \to 5^{-}}^{lim}}\) f(x)
e. \(\mathrm{_{x \to 5^{+}}^{lim}}\) f(x)
Jawab :
a. f(2) = 1 dan f(5) tidak ada
b. Saat x mendekati 2 dari kiri, f(x) mendekati 3
Jadi, \(\mathrm{_{x \to 2^{-}}^{lim}}\) f(x) = 3
c. Saat x mendekati 2 dari kanan, f(x) mendekati -1
Jadi, \(\mathrm{_{x \to 2^{+}}^{lim}}\) f(x) = -1
d. Saat x mendekati 5 dari kiri, f(x) mendekati 2
Jadi, \(\mathrm{_{x \to 5^{-}}^{lim}}\) f(x) = 2
e. Saat x mendekati 5 dari kanan, f(x) mendekati 2
Jadi, \(\mathrm{_{x \to 5^{+}}^{lim}}\) f(x) = 2
Contoh 4
Perhatikan grafik fungsi f berikut, lalu tentukan
\(\mathrm{_{x \to 2^{-}}^{lim}}\) f(x) dan \(\mathrm{_{x \to 2^{+}}^{lim}}\) f(x)
Jawab :
Ketika x mendekati 2 dari kiri, nilai f(x) akan terus mengecil tanpa batas, balasannya f(x) tidak mendekati suatu bilangan tertentu. Kita simpulkan
\(\mathrm{_{x \to 2^{-}}^{lim}}\) f(x) tidak ada.
Ketika x mendekati 2 dari kanan, nilai f(x) akan terus membesar tanpa batas, balasannya f(x) tidak mendekati suatu bilangan tertentu. Kita simpulkan
\(\mathrm{_{x \to 2^{+}}^{lim}}\) f(x) tidak ada.
Catatan : Contoh diatas merupakan masalah limit tak hingga. Untuk kasus-kasus limit tak hingga, ada cara lain untuk mengekspresikan suatu limit tidak ada, yaitu dengan memakai notasi ∞, bila nilai f(x) bertambah besar tanpa batas dan notasi -∞, bila nilai f(x) bertambah kecil (negatif besar) tanpa batas.
Eksistensi Limit
Ada syarat yang harus dipenuhi semoga suatu fungsi memiliki limit di c. Limit f di c ada bila dan hanya bila limit kiri dan limit kanan f di c ada dan nilainya sama. Kita tulis $$\mathrm{\lim_{x\rightarrow c}f(x)=L\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow c^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow c^{+}}=L}$$Contoh 5
Berdasarkan grafik fungsi f dibawah ini, tentukan nilai limit berikut bila ada
a. \(\mathrm{_{x \to -1}^{lim}}\) f(x)
b. \(\mathrm{_{x \to 1}^{lim}}\) f(x)
c. \(\mathrm{_{x \to 3}^{lim}}\) f(x)
Jawab :
a. Untuk x mendekati -1
\(\mathrm{_{x \to -1^{-}}^{lim}}\) f(x) = 1
\(\mathrm{_{x \to -1^{+}}^{lim}}\) f(x) = 4
Karena limit kiri ≠ limit kanan, akibatnya
\(\mathrm{_{x \to -1}^{lim}}\) f(x) tidak ada
b. Untuk x mendekati 1
\(\mathrm{_{x \to 1^{-}}^{lim}}\) f(x) = 2
\(\mathrm{_{x \to 1^{+}}^{lim}}\) f(x) = 2
Limit kiri = limit kanan = 2, akibatnya
\(\mathrm{_{x \to 1}^{lim}}\) f(x) = 2
c. Untuk x mendekati 3
\(\mathrm{_{x \to 3^{-}}^{lim}}\) f(x) = 2
\(\mathrm{_{x \to 3^{+}}^{lim}}\) f(x) = 3
Limit kiri ≠ limit kanan, akibatnya
\(\mathrm{_{x \to 3}^{lim}}\) f(x) tidak ada
Pendekatan numerik dan grafik yang dipaparkan diatas merupakan cara yang paling sempurna untuk memahami konsep limit, bukan menghitung nilai limit. Selama tidak ada pembenaran secara matematis, tidak ada jaminan bahwa taksiran atau prediksi kita benar 100%. Karena memang kita berangkat dari pemahaman limit secara intuitif.
Namun, kita masih sanggup menghitung nilai limit secara presisi dengan memakai teorema-teorema limit. Dari teorema-teorema ini, sanggup disusun metode-metode penyelesaian limit secara aljabar.
0 Response to "Mengenal Limit Fungsi"
Posting Komentar