Kumpulan Soal Hubungan Parabola Dan Garis

ID-KU - Hubungan parabola dan garis yang dimaksud disini ialah posisi garis pada parabola yang mencakup garis menyinggung parabola, garis memotong parabola dan garis tidak memotong atau menyinggung parabola.

Untuk memilih posisi garis pada parabola, hal  yang perlu  diperhatikan ialah nilai diskriminan (D) = b² - 4ac, yakni:
1. Garis dan parabola berpotongan pada dua titik berbeda.
    Syarat: D > 0
2. Garis dan parabola bersinggungan.
    Syarat: D = 0
3. Garis dan parabola tidak berpotongan atau bersinggungan.
    Syarat: D < 0
Untuk lebih jelasnya, simak  kumpulan soal kekerabatan parabola dan garis berikut.

Soal dan Pembahasan Hubungan Parabola  dan Garis
Soal 1 (SPMB 2006)
Persamaan parabola yang titik puncaknya (2,1) dan menyinggung garis y = 2x + 1 ialah .....
A. 4y - 2x² + 2x = 0
B. 2y + x² - 3x = 0
C. 4y + x² - 4x = 0
D. 2y - 2x² + 3x = 0
E. 2y - x² + 2x = 0
Pembahasan:
Persamaan parabola yang titik puncaknya (2,1) : y₁  = a(x - 2)² + 1
Persamaan garis : y₂ = 2x + 1

Karena saling bersinggungan, maka y₁ = y₂.
a(x - 2)² + 1 = 2x + 1
a(x² - 4x + 4) + 1 = 2x + 1
ax² - 4ax + 4a + 1 = 2x + 1
ax² - 4ax -2x + 4a =  1 - 1
ax² - (4a + 2)x + 4a = 0

Syarat bersinggungan, D = 0
b² - 4ac = 0
(4a + 2)² - 4(a)(4a) = 0
16a² + 16a + 4 - 16a² = 0
16a + 4 = 0
16a = -4
a = -4/16
a = -1/4

Dengan demikian, persamaan parabolanya:
y₁ = -¼ (x - 2)² + 1
y₁ = -¼ (x - 2)² + (4/4)
4y = -(x² - 4x + 4) + 4
4y = -x² + 4x - 4 + 4
4y = -x² + 4x +  0
4y + x² - 4x = 0
(Jawaban: C)

Soal 2 (SPMB 2006)
Garis y = x + 8 memotong parabola y = ax² - 5x - 12 di titik P(-2,6) dan titik Q. Koordinat titik Q ialah .....
A. (5,13)
B. (4,12)
C. (3,11)
D. (2,10)
E. (2,9)
Pembahasan:
Parabola y = ax² - 5x - 12
Karena melalui P(-2,6), maka:
6 = a(-2)² - 5(-2) - 12
⟺ 6 = 4a + 10 - 12
⟺ 6 = 4a - 2
⟺ 4a = 6 + 2
⟺ 4a = 8
⟺ a = 8/4
⟺ a = 2

Kedua kurva berpotogan, maka y₁ = y₂
2x² - 5x - 12 = x + 8
2x² - 5x - 12 - x - 8 = 0
2x² - 6x - 20 = 0
x² - 3x - 10 = 0
(x - 5)(x + 2) = 0
x = 5 atau x = -2

Untuk x = 5, maka:
y = x + 8
   = 5 + 8
   = 13
Jadi, koordinat titik Q ialah (5,13)
(Jawaban: A)

Soal 3 (SPMB 2005)
Jika garis y = 7x - 3 menyinggung parabola y = 4x² + ax + b di titik (1,4), a dan b konstanta maka (a - b) = .....
A. -2
B. -1
C.  0
D. 1
E. 2
Pembahasan:
y = 4x² + ax + b
Karena melalui  (1,4), maka:
4 = 4(1)² + a(1) + b
4 = 4 + a + b
a + b = 4 - 4
a + b = 0
a = -b

Kedua kurva bersinggungan, maka y₁ = y₂
4x² + ax + b = 7x - 3
4x² + ax + b - 7x + 3 = 0
4x² + (a - 7)x + (b + 3) = 0

Syarat bersinggungan, D = 0
b² - 4ac  = 0
(a - 7)² - 4(4)(b + 3) = 0
Karena a = -b, maka:
(-b - 7)² - 4(4)(b + 3) = 0
⟺ b² + 14b + 49 - 16b - 48 = 0
⟺ b² - 2b + 1 = 0
⟺ (b - 1)² = 0
⟺ b - 1 = 0
⟺ b = 1
Karena  a = -b maka a = -1

a - b = -1 - 1
        = -2
Makara (a - b) = -2
(Jawaban: A)

Soal 4 (SPMB 2005)
Parabola y = x² memotong garis y = x + 2 di titik A dan B. Panjang ruas garis AB adalah.....
A. 2
B. 3
C. 2√3
D. 3√2
E. 4
Pembahasan:
Kedua kurva berpotongan dikala y₁ = y₂
x² = x + 2
x² - x - 2 = 0
(x - 2)(x + 1) = 0
x = 2 atau x = -1

Untuk x = 2, y = 2² = 4 ⟹ titik A(2,4)
Untuk x = -1, y = (-1)² = 1 ⟹ titik B(-1,1)

Jarak AB = $\sqrt{(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}}$
                = $\sqrt{(2-(-1))^{2}+(4-1)^{2}}$
                = $\sqrt{9+9}$
                = $\sqrt{18}$
                = 3√2
(Jawaban: D)

Soal 5 (SPMB 2004)
Titik potong parabola y = mx² + x + m,  m ≠ 0 dengan garis y = (m + 1)x + 1 ialah (x₁ , y₁) dan (x₂,y₂). Jika x₁² + x₂² = 1 maka nilai m ialah .....
A. -2
B. -1
C. 0
D. 1
E. 2
Pembahasan:
Kedua kurva berpotongan dikala y₁ = y₂
mx² + x + m = (m + 1)x + 1
mx² + x + m = mx + x + 1
mx² - mx  + (m - 1) = 0
(x₁ + x₂) = -b/a = -m/m = 1
(x₁ . x₂) = c/a = (m - 1)/m

x₁² + x₂² = 1
⟺ (x₁ + x₂)² - 2(x₁.x₂) = 1
⟺ (1)² - 2$\left[\frac{m-1}{m}\right]$ = 1
⟺ $\frac{m-2m+2}{m}$ = 1
⟺ -m + 2 = 1 x m
⟺ -m + 2 = m
⟺ -m - m = -2
⟺ -2m = -2
⟺ m = -2/-2
⟺ m = 1
(Jawaban: D)

Soal 6 (SPMB 2004)
Agar parabola y = x² - px + 3 dipotong garis y = 2x - 1 di dua titik maka
A. p < -6 atau p > 2
B. p < -4 atau p > 4
C. p < -2 atau p > 6
D. -6 < p < 2
E.  -4 < p < 2
Pembahasan:
Kedua kurva berpotongan dikala y₁ = y₂
x² - px + 3 = 2x - 1
x² - px + 3 - 2x + 1 = 0
x² - (p + 2)x + 4 = 0

Syarat memotong di dua titik, D > 0
b² - 4ac  > 0
(p + 2)² - 4(1)(4) > 0
p² + 4p + 4 - 16 > 0
p² + 4p - 12 > 0
(p + 6)(p - 2) > 0
Nilai p yang memenuhi: p < -6 atau p > 2
(Jawaban: A)

Soal 7 (UM - UGM 2003)
Parabola y = x² + ax + 6 dan garis y = 2mx + c berpotongan di titik A dan B. Titik C membagi ruas garis AB menjadi dua sama panjang maka ordinat titik C ialah .....
A. 4m² + 2ma + c
B. 4m² - 2ma + c
C. 2m² + ma + c
D. 2m² - ma + c
E. 2m² - 2ma + c
Pembahasan:
Kedua kurva berpotongan dikala y₁ = y₂
x² + ax + 6 = 2mx + c
x² + ax + 6 - 2mx - c = 0
x² + (a - 2m)x + (6 - c) = 0

Absis  C(titik tengah A dan B) adalah:
xc = $\frac{x_A+x_B}{2}$
     = -$\frac{b}{2a}$
     = $\frac{2m - a}{2}$

Subtitusi nilai xc ke persamaan garis y = 2mx + c
yc = 2m$\left [\frac{2m-a}{2}\right ]$ + c
     = 2m² - ma + c
(jawaban: D)

Soal 8 (UMPTN 2001)
Syarat semoga grafik fungsi linear f(x) = mx - 2 menyinggung grafik fungsi kuadrat g(x) = 4x² + x - 1 ialah .....
A. m = 5
B. m = 3
C. m = 3 atau m = 5
D. m = -3 atau m = 5
E. m = -3 atau m = -5
Jawaban:
Kedua kurva bersinggungan dikala y₁ = y₂
4x² + x - 1 =  mx - 2
4x² + x - 1 - mx + 2 = 0
4x² + (1 - m)x + 1 = 0

Syarat menyinggung,  D = 0
b² - 4ac  = 0
(1 - m)² - 4(4)(1) = 0
1  - 2m + m² - 16 = 0
m² - 2m - 15 = 0
(m - 5)(m + 3) = 0
m = 5 atau m = -3
(Jawaban: D)

Demikian postingan "Kumpulan Soal Hubungan Parabola dan Garis" kali ini, mudah-mudahan dari beberapa soal di atas sanggup membantu pembaca dalam  menuntaskan soal-soal yang berkaitan dengan  kekerabatan parabola  dan  garis.
Sumber http://ilmuku-duniaku14.blogspot.com

Share this post

Berlangganan update artikel terbaru via email: