Ukuran Pemusatan Data (Mean, Median, Modus)

Ukuran Pemusatan Data (Mean, Median, Modus)-akan disajikan dalam topik ini untuk data berkelompok. Ikutilah bersama kami  

Ukuran Pemusatan Data (Mean, Median, Modus)

Ukuran pemusatan data menggambarkan daerah atau pada nilai-nilai mana data cenderung berkumpul. Ada tiga ukuran pemusatan data yang sering dipakai yaitu rata-rata (mean), median, dan modus.

a.         Menentukan nilai rata-rata (Mean)

Masih ingatkah kalian cara memilih mean dari data tunggal di Sekolah Menengah Pertama dan di kelas X?

Diketahui bahwa

Jika datanya banyak, dan data disajikan dengan tabel distribusi frekuensi berkelompok, maka memilih mean data berkelompok juga dikembangkan dari konsep memilih mean dari data tunggal tersebut.

Perhatikan tabel berikut

 Tabel 1. Tabel Nilai Matematika Siswa XI IPA

Nilai Matematika	Frekuensi
38 – 46	1
47 – 55	5
56 – 64	7
65 – 73	12
74 – 82	25
83 – 91	22
92 – 100	8
Jumlah	80

Kita akan memaknai sajian data pada Tabel 1 di atas. Dari interval 38 – 46, sanggup diartikan bahwa :

38 disebut batas bawah kelas ke I

46 disebut batas atas kelas ke I

Nilai tengah kelas dinotasikan dengan x_i.

Berapakah batas bawah, batas atas, dan nilai tengah kelas ke II hingga dengan kelas ke VII?

Sesuai pembahasan kita, data nilai matematika siswa Kelas XI IPA sanggup diperbaharui sebagai berikut.

Tabel 2 Tabel Frekuensi

Nilai Mat	xi	Fi	xi .Fi
38 – 46	42	1	42
47 – 55	51	5	255
56 – 64	60	7	420
65 – 73	69	12	828
74 – 82	78	25	1950
83 – 91	87	22	1914
92 – 100	96	8	768
Jumlah		80	6177

Nilai tengah setiap kelas diartikan sebagai perwakilan data setiap kelas. Nilai ini dipakai untuk memilih rata-rata data tersebut.

Dengan menyebarkan konsep mean pada data tunggal, yaitu mean merupakan perbandingan jumlah seluruh data dengan banyak data, maka jumlah seluruh data ialah (1) 42 + (5) 51 + (7) 60 + (12) 69 + (25) 78 + (22) 87 + (8) 96.

Sehingga diperoleh rata-rata (mean) :

Jadi, rata-rata (mean) dari nilai matematika siswa kelas XI IPA ialah 77,21.

Dengan memperhatikan data nilai yang telah diurutkan dan mean yang diperoleh,

-          Berapakah banyak siswa yang menerima nilai matematika di bawah rata-rata?

-          Berapakah banyak siswa yang menerima nilai matematika di atas rata-rata?

Perhitungan rata-rata di atas sanggup kita rumuskan secara matematis sebagai berikut:

Melalui pembahasan ini, disimpulkan bahwa rata-rata (Mean) merupakan salah satu ukuran pemusatan data yang dinyatakan sebagai berikut.

Selain cara di atas, ada cara lain untuk menghitung rata-rata, diantaranya ialah dengan memakai rataan sementara. Dengan data yang sama, tentukan rata-rata dari data di atas dengan langkah-langkah sebagai berikut.

1.      Ambil nilai tengah dengan frekuensi terbesar yang akan dinamakan sebagai rataan sementara (x_s)

2.      Kurangkan setiap nilai tengah kelas dengan rataan sementara (x_s) dan catat hasilnya, contohnya pada kolom d_i = x_i - x_s

3.      Hitung hasil kali f_i . d_i dan tuliskan alhasil pada sebuah kolom, hitung totalnya.

Hitung mean dengan memakai rumus rataan sementara berikut:

Data pada tabel di atas sanggup kita sajikan kembali sebagai berikut.

Tabel 3. Penentuan Mean

Nilai Mat	xi	fi	di = xi - xs	fi . di
38 – 46	42	1	-36	-36
47 – 55	51	5	-27	-135
56 – 64	60	7	-18	-126
65 – 73	69	12	-9	-108
74 – 82	78	25	0	0
83 – 91	87	22	9	198
92 – 100	96	8	18	144
Jumlah		80		-63

 Keterangan: rataan sementara dipilih dari data yang memiliki frekuensi tertinggi, yaitu x_s  = 78.

b.         Menentukan Nilai Modus

Modus untuk data berkelompok prinsipnya sama dengan modus untuk data tunggal yaitu nilai yang paling sering muncul. Dalam hal ini frekuensi terbanyak menjadi perhatian kita sebagai letak modus tersebut. Misalkan dari sekumpulan data kita ambil 3 kelas yakni kelas dengan frekuensi terbanyak (kelas modus) dan kelas sebelum dan setelah kelas modus. Dengan pinjaman histogram, 3 kelas interval tersebut sanggup digambarkan sebagai berikut:

Harus diingat bahwa dalam menggambarkan histogram, setiap kelas diwakili oleh sebuah persegi panjang yang lebarnya menujukkan panjang kelas dan tingginya menunjukkan frekuensi kelas, panjang kelas merupakan selisih tepi atas dengan tepi bawah kelas.

Untuk keperluan memilih modus, diberikan keterangan sebagai berikut:

d₁ = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya

d₂ = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya

k   = panjang kelas

t_b  = tepi bawah kelas modus

M_o = Modus

Jika kita perhatikan, M_o = t_b + ∆x. Sehingga untuk memilih modus kita gunakan prinsip kesebangunan antara ∆ ABG dengan ∆ DCG.

AB = d₁, CD = d_2, EG = ∆x dan FG = k - ∆x. Berdasarkan sifat kesebangunan berlaku perbandingan sebagai berikut:

Perhatikan tabel berikut.

Tabel 4. Penentuan Modus

Nilai Mat	xi	fi
38 – 46	42	1
47 – 55	51	5
56 – 64	60	7
65 – 73	69	12
74 – 82	78	25
83 – 91	87	22
92 – 100	96	8
Jumlah		80

Berdasarkan tabel, modus terletak pada frekuensi terbanyak f = 25 yaitu kelas interval modus 74 – 82 dengan panjang kelas k = 9. Sehingga diperoleh

t_b  = 73,5

d₁ = 25 – 12 = 13

d₂ = 25 – 22 = 3

Modus data di atas dihitung dengan:

c.         Menentukan nilai tengah (Median)

Median dari sekelompok data yang telah diurutkan merupakan nilai yang terletak di tengah data yang membagi dua bab yang sama. Untuk data berkelompok, median ditentukan dengan rumus interpolasi sebagai berikut:

Keterangan:

M_e = Median

k   = panjang kelas

t_b  = tepi bawah kelas median

n  = banyak data

F  = frekuensi kumulatif sempurna sebelum kelas median

f_m = frekuensi kelas median

Untuk memilih median dari suatu daftar distribusi frekuensi berkelompok, kita harus memperhatikan tabel frekuensi kumulatif untuk memilih dimana datum berada.

Tabel 5. Penentuan Median

Nilai Mat	Frekuensi (fi )	Frekuensi Kumulatif (F)
38 – 46	1	1
47 – 55	5	6
56 – 64	7	13
65 – 73	12	25
74 – 82	25	50
83 – 91	22	72
92 – 100	8	80
Jumlah	80

Ukuran data pada Tabel 5 ialah 80 (genap), artinya median terletak antara datum ke-40 dan datum ke-41. Kedua datum tersebut terletak pada kelas 74 – 82.

Dari tabel di atas diperoleh gosip berikut.

k = 9, t_b  = 73,5, n = 80, dan  = 25.

F =25.

Jadi, median data nilai matematika siswa kelas XI IPA ialah 79,9.

Terimakasih telah mengikutisajian Ukuran Pemusatan Data (Mean, Median, Modus). Terapkanlah pengetahuanmu yang didapatkan kali ini dengan menganalisa contoh-contoh soal penerapannya pada bahasan berikutnya di Contoh Soal Ukuran Pemusatan Data (Mean, Median, Modus).  Salam Matematika !!

Sumber http://www.partnermatematika.com

Share this post

Berlangganan update artikel terbaru via email: