Soal Dan Pembahasan Rotasi (Perputaran) Dengan Matriks
Perputaran atau rotasi yakni transformasi yang memindahkan titik-titik dengan cara memutar titik-titik tersebut sejauh θ terhadap suatu titik sentra rotasi.
Perputaran atau rotasi pada bidang datar ditentukan oleh:
1. Titik sentra rotasi
2. Besar sudut rotasi
3. Arah sudut rotasi
Berikut ini yakni bayangan dan matriks yang bersesuaian dengan rotasi
P(x,y) ➝ P'(x',y')
Itulah sedikit bahan wacana apa itu rotasi (perputaran), selanjutnya kita masuk dalam pola soal dan pembahasannnya dalam hal ini dengan memakai matriks.
Soal ❶
Titik A dirotasikan terhadap titik O(0,0) sejauh 90⁰ berlawanan dengan arah putaran jam. Tentukanlah bayangan titik A.
Pembahasan:
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0&-1\\
1&0
\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
⟺ $\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0&-1\\
1&0
\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}
2\\
1
\end{pmatrix}$
⟺ $\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-1\\
2
\end{pmatrix}$
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0&-1\\
1&0
\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
⟺ $\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0&-1\\
1&0
\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}
2\\
1
\end{pmatrix}$
⟺ $\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-1\\
2
\end{pmatrix}$
Dengan demikian x' = -1 dan y' = 2.
Jadi, bayangan titik A(2,1) oleh rotasi terhadap titik O(0,0) sejauh 90⁰ berlawanan arah putaran jam yakni A'(-1,2).
Soal ❷
Bayangan titik A oleh rotasi R(0,45⁰) yakni (-√2,√2). Tentukanlah koordinat titik A.
Pembahasan:
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
cos θ&-sin θ\\
sin θ&cos θ
\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
Karena θ = 45⁰, maka:
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
cos 45⁰&-sin 45⁰\\
sin 45⁰&cos 45⁰
\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
⟺ $\begin{pmatrix}
-√2 \\
√2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
½√2 &-½√2 \\
½√2 &½√2
\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
⟺ $\begin{pmatrix}
-√2 \\
√2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
½√2x -½√2y \\
½√2x+½√2y
\end{pmatrix}$
Dengan demikian:
½√2x - ½√2y = -√2 ...........(1)
½√2x + ½√2y = √2 ...........(2)
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
cos θ&-sin θ\\
sin θ&cos θ
\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
Karena θ = 45⁰, maka:
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
cos 45⁰&-sin 45⁰\\
sin 45⁰&cos 45⁰
\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
⟺ $\begin{pmatrix}
-√2 \\
√2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
½√2 &-½√2 \\
½√2 &½√2
\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}$
⟺ $\begin{pmatrix}
-√2 \\
√2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
½√2x -½√2y \\
½√2x+½√2y
\end{pmatrix}$
Dengan demikian:
½√2x - ½√2y = -√2 ...........(1)
½√2x + ½√2y = √2 ...........(2)
Dengan menuntaskan persamaan (1) dan (2) di atas, maka diperoleh x = 0 dan y = 2.
Jadi, koordinat titik A yakni (0,2).
Titik B(5,-1) dirotasikan terhadap titik P(2,3) sejauh 90⁰ searah putaran jam. Tentukanlah bayangan titik B tersebut.
Pembahasan:
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0&1\\
-1&0
\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}
x-a\\
y-b
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
a\\
b
\end{pmatrix}$
⟺ $\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0&1\\
-1&0
\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}
5-2\\
-1-3
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
2\\
3
\end{pmatrix}$
⟺ $\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0&1\\
-1&0
\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}
3\\
-4
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
2\\
3
\end{pmatrix}$
⟺ $\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-4\\
-3
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
2\\
3
\end{pmatrix}$
⟺ $\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-2\\
0
\end{pmatrix}$
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0&1\\
-1&0
\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}
x-a\\
y-b
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
a\\
b
\end{pmatrix}$
⟺ $\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0&1\\
-1&0
\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}
5-2\\
-1-3
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
2\\
3
\end{pmatrix}$
⟺ $\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0&1\\
-1&0
\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}
3\\
-4
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
2\\
3
\end{pmatrix}$
⟺ $\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-4\\
-3
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
2\\
3
\end{pmatrix}$
⟺ $\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-2\\
0
\end{pmatrix}$
Dengan demikian, x' = -2 dan y' = 0.
Jadi, koordinat bayangan titik B(5,-1) oleh rotasi terhadap titik P(2,3) sejauh 90⁰ searah putaran jam yakni B'(-3,0).
Soal ❹
Jika garis x - 2y = 5 diputar sejauh 90⁰ terhadap titik (2,4) berlawanan arah putaran jam, maka tentukanlah persamaan bayangannya.
Pembahasan:
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0&-1\\
1&0
\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}
x-2\\
y-4
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
2\\
4
\end{pmatrix}$
⟺ $\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
4-y\\
x-2
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
2\\
4
\end{pmatrix}$
⟺ $\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
6-y\\
x+2
\end{pmatrix}$
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0&-1\\
1&0
\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}
x-2\\
y-4
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
2\\
4
\end{pmatrix}$
⟺ $\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
4-y\\
x-2
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
2\\
4
\end{pmatrix}$
⟺ $\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
6-y\\
x+2
\end{pmatrix}$
Dengan demikian, maka:
x' = 6 - y => y = 6 - x'
y' = x + 2 => x = y' - 2
Dengan mensubtitusikan x = y' - 2 dan y = 6 - x' pada persamaan garis, diperoleh:
(y' - 2) - 2(6 - x') = 5
y' - 2 - 12 + 2x' = 5
2x' + y' = 5 + 2 + 12
2x' + y' = 19
x' = 6 - y => y = 6 - x'
y' = x + 2 => x = y' - 2
Dengan mensubtitusikan x = y' - 2 dan y = 6 - x' pada persamaan garis, diperoleh:
(y' - 2) - 2(6 - x') = 5
y' - 2 - 12 + 2x' = 5
2x' + y' = 5 + 2 + 12
2x' + y' = 19
Jadi, persamaan bayangan garis x - 2y = 5 oleh rotasi sejauh 90⁰ terhadap titik (2,4) berlawanan arah putaran jam yakni 2x + y = 19.
Baca Juga: Kumpulan Soal dan Pembahasan Dilatasi
Demikian postingan wacana "Soal dan Pembahasan Rotasi (Perputaran) dengan Matriks" ini, supaya sanggup membantu anda dalam menuntaskan soal-soal terkait dengan transformasi geometri (rotasi).
Sumber http://ilmuku-duniaku14.blogspot.com
0 Response to "Soal Dan Pembahasan Rotasi (Perputaran) Dengan Matriks"
Posting Komentar