Pembahasan Matematika No. 11 - 15 Tkd Saintek Sbmptn 2018 Instruksi Naskah 466

Pembahasan soal Matematika Tes Kemampuan Dasar Sains dan Teknologi (TKD Saintek) Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SBMPTN) tahun 2018 Kode Naskah 466 nomor 11 hingga dengan nomor 15 tentang:

• integral, 
• barisan dan deret, 
• pertidaksamaan trigonometri, 
• fungsi eksponen, serta 
• garis singgung lingkaran.

Soal No. 11 wacana Integral

Nilai

yakni ….

A.   19
B.   38
C.   57
D.   76
E.   95

Pembahasan

Bentuk integral di atas yakni integral substitusi. Cirinya, terdiri dari dua fungsi yang mana bila salah satu fungsi diturunkan akan menghabiskan fungsi yang lain.

Perhatikan bentuk integral berikut!

Fungsi pertama yakni fungsi pangkat −2 sedangkan fungsi yang kedua yakni fungsi pangkat −1. Jika fungsi pangkat −1 diturunkan akan menghabiskan fungsi pangkat −1.

Mari kita kerjakan pelan-pelan!

Integral di atas bentuknya sama dengan integral berikut:

−3∫ a^1/2 da = −3 ∙ 2/3 ∙ a^3/2 + C

Ok, mari kita lanjutkan!

Jadi, nilai dari integral di atas yakni 38 (B).

Soal No. 12 wacana Barisan dan Deret

Diketahui (a_n) dan (b_n) yakni dua barisan aritmetika dengan a₁ = 5, a₂ = 8, b₁ = 3, dan b₂ = 7 Jika A = {a₁, a₂, ⋯, a₁₀₀} dan B = {b₁, b₂, ⋯, b₁₀₀} maka banyaknya anggota A∩B yakni ….

A.   20
B.   21
C.   22
D.   23
E.   24

Pembahasan

Kita tentukan dulu anggota himpunan A dan B. Himpunan A yakni barisan aritmetika dengan suku awal 5 dan beda 3. Suku ke-100 adalah:

   a_n = a₁ + (n − 1)b
a₁₀₀ = 5 + 99 ∙ 3
        = 302

Sehingga himpunan A adalah:

A = {5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, …, 302}

Sedangkan anggota himpunan B barisan aritmetika dengan suku awal 3 dan beda 4. Suku ke-100 adalah:

   b_n = b₁ + (n − 1)b
b₁₀₀ = 3 + 99∙4
        = 399

Sehingga himpunan B adalah:

A = {3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, …, 399}

Dengan demikian irisan himpunan A dan B adalah:

A∩B = {11, 23, …}

Anggota irisan himpunan tersebut merupakan barisan aritmetika dengan suku awal 11 dan beda 12. Suku terakhirnya niscaya kurang dari 302 (bukan 399). Sehingga banyaknya suku adalah:

                      U_n < 302
       a + (n − 1)b < 302
11 + (n − 1) ∙ 12 < 302
    11 + 12n − 12 < 302
                     12n < 303
                         n < 303/12
                         n < 25,25

Karena n yakni bilangan orisinil maka n = 25.

Jadi, banyaknya anggota A∩B yakni 25 (-).

Soal No. 13 wacana Pertidaksamaan Trigonometri

Himpunan semua bilangan real x pada selang [π, 2π] yang memenuhi 2 cos⁡(π/2 − x) cos⁡x ≥ 1 − cos ⁡2x berbentuk [a, b]. Nilai a + b yakni ….

A.   9π/4
B.   3π
C.   13π/4
D.   14π/4
E.   15π/4

Pembahasan

Modal utama untuk menuntaskan soal di atas yakni mengingat kembali dua rumus berikut:

cos⁡(90° − x) = sin ⁡x
cos 2x = 1 − 2 sin²⁡ x ⇔ 1 − cos ⁡2x = 2 sin²⁡ x

Nah, mari kita selesaikan soal di atas!

      2 cos⁡(π/2 − x) cos⁡x ≥ 1 − cos ⁡2x
                 2 sin ⁡x cos ⁡x ≥ 2 sin²⁡ x
2 sin²⁡ x − 2 sin ⁡x cos ⁡x ≤ 0
  2 sin ⁡x (sin⁡ x − cos ⁡x) ≤ 0

Pembuat nol pertidaksamaan di atas adalah:

I.   sin⁡ x = 0
           x = 0°, 180°, 360° atau
           x = 0, π, 2π

II.   sin⁡ x − cos ⁡x = 0
                   sin ⁡x = cos ⁡x
          sin⁡ x/cos ⁡x = 1
                   tan⁡ x = 1
                         x = 45°, 225° atau
                         x = π/4, 5π/4

Garis bilangan untuk pertidaksamaan tersebut adalah:

Yang memenuhi interval [π, 2π] yakni π ≤ x ≤ 5π/4 yang lazim dinotasikan dalam bentuk [π, 5π/4]. Dengan demikian diperoleh:

a = π
b = 5π/4

Sehingga

a + b = π + 5π/4
         = 4π/4 + 5π/4
         = 9π/4

Jadi, nilai a + b yakni 9π/4 (A).

Soal No. 14 wacana Fungsi Eksponen

Diketahui f(x) = 2^{x2 + x − 12} dan g(x) = 4^{2x − 7}. Jika (a, b) yakni interval dengan grafik y = f(x) berada di bawah grafik y = g(x) maka nilai a² + b² yakni ….

A.   1
B.   5
C.   10
D.   13
E.   17

Pembahasan

Grafik y = f(x) berada di bawah grafik y = g(x).

               f(x) < g(x)
    2^{x2 + x − 12} < 4^{2x − 7}
    2^{x2 + x − 12} < (2²)^{2x − 7}
   x² + x − 12 < 4x − 14
   x² − 3x + 2 < 0
(x − 1)(x − 2) < 0

Pembuat nol pertidaksamaannya adalah:

x = 1 atau x = 2

Karena tanda pertidaksamaannya “<” maka hasil dari pertidaksamaan tersebut berada di antara 1 dan 2.

1 < x < 2 atau (1, 2)

Sehingga diperoleh:

a = 1
b = 2

Dengan demikian:

a² + b² = 1² + 2²
             = 5

Jadi, nilai dari a² + b² yakni 5 (B).

Soal No. 15 wacana Garis Singgung Lingkaran

Diketahui dua bulat x² + y² = 2 dan x² + y² = 4. Garis l₁ menyinggung bulat pertama di titik (1, −1). Garis l₂ menyinggung bulat kedua dan tegak lurus dengan garis l₁. Titik potong garis l₁ dam l₂ yakni ….

A.   (1 + √2, √2 − 1)
B.   (1 − √2, √2 − 1)
C.   (1 + √2, √2 + 1)
D.   (1 − √2, √2 − 2)
E.   (1 + √2, √2 + 2)

Pembahasan

Garis singgung bulat x² + y² = r² di titik (x₁, y₁) dirumuskan:

x₁x + y₁y = r²

Garis l₁ yakni garis singgung bulat x² + y² = 2 di titik (1,−1). Persamaan garis l₁ adalah:

1x + (−1)y = 2
         x − y = 2

Gradien garis l₁ adalah:

m₁ = −a/b
      = −1/(−1)
      = 1

Garis l₂ tegak lurus l₁ sehingga perkalian gradiennya sama dengan −1.

m₁ ∙ m₂ = −1
   1 ∙ m₂ = −1
        m₂ = −1

Garis l₂ merupakan garis singgung bulat x² + y² = 4 (jari-jari = 2).

      y = m₂x ± r√(m₂² + 1)
      y = −x ± 2√2
y + x = ±2√2

Berarti garis l₂ ada dua, yaitu

y + x = +2√2  dan
y + x = −2√2

ambil yang aktual saja, jikalau tidak ada jawabannya gres kita gunakan yang negatif.

Sekarang kita tentukan titik potong antara garis l₁ dan l₂. Bisa dengan cara eliminasi atau substitusi. Eliminasi saja, ya!

l₁ : x − y = 2
l₂ : x + y = 2√2
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯  +
          2x = 2 + 2√2
            x = 1 + √2

l₁ : x − y = 2
l₂ : x + y = 2√2
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯  −
        −2y = 2 − 2√2
            y = −1 + √2
               = √2 − 1

Dengan demikian titik potongnya adalah:

(1 + √2, √2 − 1)

Jadi, titik potong garis l₁ dam l₂ yakni (1 + √2, √2 − 1) (A).

Pembahasan Matematika No. 6 - 10 TKD Saintek SBMPTN 2018 Kode Naskah 466
Pembahasan Fisika No. 16 - 20 TKD Saintek SBMPTN 2018 Kode Naskah 466

Simak juga:
Pembahasan Matematika No. 1 - 5 TKD Saintek SBMPTN 2014
Pembahasan Matematika No. 1 - 5 TKD Saintek SBMPTN 2015
Pembahasan Matematika No. 1 - 5 TKD Saintek SBMPTN 2016
Pembahasan Matematika No. 1 - 5 TKD Saintek SBMPTN 2017

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Demikian, menyebarkan pengetahuan bersama . Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.
Sumber http://kakajaz.blogspot.com

Share this post

Berlangganan update artikel terbaru via email: